A forgatások (1)
A 4D-s világ felfedezése során ezúttal a forgatásokat nézzük meg.
A forgatás mint síkbeli jelenség
Az általunk lakott 3D-s tér egyik sajátossága, hogy minden forgatási síknak egy bizonyos tengelye van, amely körül az összes többi pont forog. A tengelyen lévő pontok a forgás során rögzítve vannak, így a tengelyt a forgatás rögzített vonalának hívhatjuk.
Mivel tapasztalatunk a 3D-s térre korlátozódik, könnyen azt gondolhatjuk, hogy a forgástengely eredendően a forgás tényéből adódik. Ez azonban más dimenziókra rendszerint nem igaz. Figyeljük meg az alábbi négyzetet, amely a 2D-s síkban forog:
Hol van ennek a forgásnak a tengelye? A mi 3D-s nézőpontunkból merőleges a 2D-s síkra, és előrenyúlik felénk a képernyőből. Ha azonban 2D-s nézőpontból néznénk, nem találnánk ilyen tengelyt, csak egyetlen rögzített pontot a forgatás közepén. A feltételezett tengely összes többi pontja kívül esik a 2D-s univerzumon!
Amint látni fogjuk, a 4D-s forgatásoknál nincs önálló forgástengely. Ehelyett rögzített síkok vannak, melyek a forgatás során egy helyben maradnak. 4D-s nézőpontból a forgatásnak nem csupán tengelye van, hanem síkja, ami körül minden más forog. 3D-s lényként lehet, hogy nem könnyű megértenünk, hogy foroghat valami egy sík „körül”.
Sokkal jobb, ha rögzített pontokban, tengelyekben vagy síkokban való gondolkodás helyett eleve síkbeli jelenségként értjük meg a forgatást. Gondoljunk az általunk ismert 2D-s és 3D-s forgatásra. Egy közös vonásuk van: a forgó tárgy minden pontja párhuzamos síkokban fekvő köröket jár be. 2D-ben csak egy sík van, maga a 2D-s univerzum; 3D-ben viszont számos párhuzamos sík lehetséges. Mivel ezeknek mindig párhuzamosaknak kell lenniük (máskülönben nem forgatást kapunk, hanem eltorzul a tárgy), kiválaszthatjuk közülük az egyik ilyen síkot, és elnevezhetjük ezt forgássíknak. A forgásra ezáltal úgy tekinthetünk, mint ami síkban zajlik, nem pedig tengely körül.
A forgatásnak ezt a felfogását könnyebb magasabb számú dimenziókra általánosítani. Azt is könnyebben megértjük ebből, hogy a 2D-s forgatásnál miért csak rögzített pontok vannak, a 3D-s forgatásnál viszont tengelyek: a forgatásnak, mivel síkbeli jelenség, a mozgáshoz két dimenzióra van „szüksége”. 2D-ben csak ezek a dimenziók állnak rendelkezésre, így csak egy 0D-s rögzített pont marad. 3D-ben 3 dimenzió áll rendelkezésre, ezért még 1 dimenzió marad, miután a másik kettőt leköti a forgatás. Ez a megmaradó dimenzió felel meg egy egyszerű vonalnak, a forgástengelynek. 4D-ben 2 dimenzió marad, ezért beszélhetünk rögzített síkokról.
A fő forgatások száma
A geometriai érdeklődésűek bizonyára tudják, hogy 3D-ben három fő forgatás létezik: az XY, az YZ és az XZ síkok mentén való forgatás. Minden 3D-s forgatást vissza lehet vezetni ezeknek a fő forgatásoknak valamely kombinációjára. Az azonban, hogy 3D-ben épp 3 fő forgatás van, csupán véletlen egybeesés: a fő forgatások száma általában véve nem esik egybe a dimenziók számával. 2D-ben például csak egy forgássík van, ami maga a 2D-s sík. Amint látni fogjuk, 4D-ben a fő forgatások száma nem négy, hanem hat.
Ez pusztán kombinatorika kérdése: már láttuk, hogy a forgatás síkbeli jelenség, ezért két dimenziót vesz igénybe. A különböző fő forgatások száma ezért a dimenziók közt alkotható párok számával azonos. 1D-ben például nem létezhet forgatás, mert csak egy tengely van, az X tengely, és nem lehet párt alkotni. 2D-ben már két tengely van: az X és az Y, és ők alkotják az egyetlen lehetséges párt, így pontosan 1 forgássík létezik. 3D-ben három tengely van: X, Y és Z, ebből 3 lehetséges pár adódik: XY, XZ és YZ. Ezért van 3D-ben 3 fő forgatás. 4D-ben azonban négy tengelyünk van: X, Y, Z és W, ennélfogva hat párt lehet képezni belőlük: XY, XZ, XW, YZ, YW és ZW. (Az olvasóra hagyjuk annak ellenőrzését, hogy csak ezek a lehetőségek léteznek.)
A 4D-s forgatások megjelenítése
Az olvasó ezen a ponton lehet, hogy sokallja ezeket: hat fő forgatást kell megismernünk 4D-ben, kétszer annyit, mint 3D-ben! Ez azonban nem olyan nehéz, ahogy talán első látásra tűnik. A megoldás: a 4D-s forgatásokat vetületek révén képzelhetjük el.
Gondoljuk el, hogyan taníthatnánk meg egy 2D-s lénynek a 3D-s forgatást. Ennek egyik hasznos módszere az lenne, hogy a Z tengely szerinti vetítéshez folyamodhatnánk, így a 3D-s tér X és Y tengelye a 2D-nek az X és Y tengelyére képeződne le, a Z tengelyt pedig egyetlen pontba sűrítenénk. Így nézne ki ennél a vetítésnél egy négyzet, amely az XZ síkban forog:
Mi, 3D-s lények ezt minden további nélkül tudjuk nyomban 3D-ben értelmezni, de gondolkodjunk egy pillanatra csupán 2D-s nézőpontból. Ahelyett, hogy a síkban forgó négyzet lenne (a 2D-s lény a forgatásnak csak ezt a fajtáját ismeri), a négyzet látszólag egy képtelen torzulás során át- és átfordul önmagába. Mi persze 3D-s nézőpontunk révén tudjuk, hogy nem erről van szó; csak azért tűnik ilyennek a forgatás, mert oldalról látjuk.
És hogy néz ki egy YZ síkban forgó négyzet?
Itt is az „átfordulásos” hatást látjuk. Ez a forgatás, úgy tűnik, megegyezik az előzővel, kivéve, hogy az „átfordulásos” hatás az Y tengely mentén megy végbe, nem pedig az X tengely mentén. Nézzük meg végül az utolsó fő 3D-s forgatást, ami az XY síkban zajlik:
Figyeljük meg, hogy ez a forgatás szakasztott úgy néz ki, mint a 2D-s forgatás. Nincs okunk meglepődni ezen, hiszen az XY síkban lévő forgatás épp azonos a 2D-ben meglévő egyetlen fő forgatással.
Azt látjuk tehát, hogy a 3D-s forgatások 2D-be való vetületei kétféleképpen jelenhetnek meg: vagy teljesen szokványos 2D-s forgatásként, vagy pedig látszólagos „átfordulásként”. A szokványos kinézetű forgatás az, amelyik az XY síkban zajlik, s ami épp azonos a 2D-beli fő forgatással. Az „átfordulásos” forgatások azok, amelyek a Z tengelyt tartalmazó síkokban történnek: ez a tengely nyúlik ki a 2D-s síkból. Ezek az „átfordulásos” forgatások továbbá teljesen azonos kinézetűek, az irányukat leszámítva.
4D-ben is pont ugyanez történik: a 6 lehetséges fő forgatás közül 3 szakasztott ugyanúgy néz ki, mint az a 3 fő 3D-s forgatás, amelyeket már ismerünk. Ezek az XY, XZ és YZ síkok szerinti forgatások, amelyek épp azonosak a 3 fő 3D-s forgatással. A további forgatásoknál merül fel a W tengely: az XW, az YW és a ZW síkban való forgatásoknál. Ezek látszólag „átfordulnak”. Az alábbi animációkon egy kocka látható az egyes forgatások során:
A rögzített síkokat piros szaggatott vonallal jelöltük. Figyeljük meg, hogy mindhárom forgatás ugyanolyannak tűnik, kivéve, hogy az „átfordulás” rendre az X, az Y és a Z tengely mentén történik. Ezért valójában csak egyetlen új típusú forgatással kell megismerkednünk, és máris teljes mértékben megértettük a 4D-ben meglévő mind a 6 fő forgatást.
Ne feledjük, hogy mindezeknél az animációknál a kocka valójában nem torzul el és nem is fordul át. Ez a látszat mindössze a 4D-ből 3D-be való vetítésből fakad. A kocka az összes forgatás során változatlanul megőrzi alakját.
A Clifford-forgatások
Korábban említettük, hogy a forgatáshoz 2 dimenzió kell, valamint azt is, hogy 4D-s forgatásoknál azért lehet rögzített síkokról beszélni, mert 2 dimenzió marad meg. A figyelmes olvasónak esetleg feltűnhet, nem lehetséges-e ebben a rögzített síkban egy második, eltérő forgatás is, hiszen egy újabb forgatás 2 további dimenzióban is történhet. Más szóval: lehetséges-e, hogy egy tárgy egyszerre forogjon az XY sík és a ZW sík körül, lehetőleg más-más forgási sebességgel, hiszen mindkettejük forgássíkja épp a másikuk rögzített síkjába esik?
Válaszunk: igen, lehetséges. Semmi akadálya annak, hogy egy 4D-s tárgy egyszerre forogjon az XY és a ZW síkban – vagy éppen az XZ és az YW síkban, vagy az YZ és az XW síkban. Ezeket az összetett forgásokat a matematikában Clifford-forgatások (vagy Clifford-jellegű forgatások) néven ismerik. Hogy elkülönítsük ezektől az eddig vizsgált forgatásokat, az utóbbiakra síkbeli forgatásként fogunk hivatkozni. A Clifford-forgatásokat két, egymástól független, egyszerre zajló síkbeli forgatásra lehet felbontani, így két független forgási sebességük lehet.
A matematikusok már régóta tudnak a Clifford-forgatásokról, bár nem sokan tudják egykönnyen elképzelni őket, különösen azért, mert 4-nél kevesebb dimenzióban nem lehetségesek. Annak alapján azonban, amit eddig megtudtunk, minden további nélkül megnézhetünk egy 4D-s Clifford-forgatást. Ez mindössze olyan forgatás, amelynek vetítésekor egyszerre zajlik egy 3D-szerű és egy „átfordulásos” forgatás. Ez például egy olyan kocka, amely egyszerre forog az XY és a ZW síkban:
Az „átfordulásos” forgatás a függőleges Z tengely mentén zajlik, ami a ZW síknak felel meg; a 3D-szerű forgatás pedig az XY síkban megy végbe. Figyeljük meg, hogy a ZW sík az Y tengelyre vetül, ami a 3D-s XY síkbeli forgatás tengelye.
A 4D-s Clifford-forgatásnál nincs rögzített sík, mivel a forgatás mind a 4 dimenziót igénybe veszi. Van azonban rögzített pontja, ami a jelenlegi két síkbeli forgatás rögzített síkjainak metszete. (A 4D-ben két sík többnyire csak egyetlen pontban metszi egymást.) Esetünkben a kocka rögzített pontja a kocka közepén található.
