A 4D-s vetületek értelmezése (1)
Az eddigiekben láttunk néhány példát a 4D-s tárgyak 3D-be való vetítésére, valamint megismertük a képek átláthatóbbá és érthetőbbé tételének különböző módjait. De hogyan kell voltaképpen értelmezni ezeket a képeket? Mit jelentenek valójában a képen látott jellegzetességek? Erről lesz szó a következőkben.
Térfogatban gondolkodás
Amikor először bevezettük a dimenziós analógiát, a különféle dimenzióbeli tárgyak határairól beszéltünk. 1D-ben a tárgyakat pontok határolják, melyek 0D-s jelenségek. 2D-ben a tárgyakat vonalak és görbék határolják, melyek 1D-s jelenségek. 3D-ben a tárgyakat ugyanígy felületek határolják, melyek 2D-s jelenségek. Ennek alapján arra jutottunk a dimenziós analógiával, hogy a 4D-s tárgyakat bizonyára térfogatok határolják. Nézzük meg, mennyiben könnyíti ez a 4D-s vetületek értelmezését.
Először a 3D-s kocka alábbi perspektivikus vetületét vizsgáljuk meg:
Ez a kép számos részből áll: a külső keretből, ami egy nagy négyzet; egy középső, kisebb négyzetből; valamint négy trapéz alakú részből, melyek a külső négyzetet kötik össze a belső négyzettel.
A 3D-vel való tapasztalatunk alapján tudjuk, hogy a külső négyzet a kocka közelebbi oldalának, a belső négyzet pedig a kocka távolabbi oldalának felel meg. Bár a külső négyzet nagyobb a belsőnél, a valóságban a kocka közelebbi és távolabbi oldala azonos méretű. A távolabbi oldal csak azért tűnik kisebbnek, mert messzebb van a 3. dimenzióban.
A tapasztalatunk alapján ugyanígy azzal is tisztában vagyunk, hogy a belső és külső négyzet közti négy trapéz alakú rész igazából a kocka négyzet alakú oldalai. Csak azért tűnnek trapéz alakúnak, mert szögből látjuk őket.
Azt is tudjuk, hogy a kockának ez a 6 oldala csupán a külsején található. Ez számunkra nyilvánvaló, de egy 2D-s lény aligha értené. A képen a belső négyzet látszólag teljes egészében a külső négyzet belsejében fekszik: hogy lehet akkor ez a kocka szélén? Ne feledkezzünk meg erről, amikor az analóg helyzetet vizsgáljuk 4D-ben.
Az alábbi kép a 4D-s hiperkocka cella felőli perspektivikus vetülete:
A képen a szaggatott vonal a rejtett éleket jelöli. A kék színű szaggatott vonalak azokat az éleket jelzik, amelyek 4D-s nézőpontból nem látszanak. A fekete színű szaggatott vonalak pedig azokat az éleket mutatják, amelyek 3D-s nézőpontból nem látszanak, 4D-s nézőpontból viszont látszanak. Az előző képen lévő szaggatott vonalnak ezen a képen a kék színű szaggatott vonal felel meg. A fekete színű szaggatott vonal ugyanolyannak számít, mint a fekete színű folytonos vonal; csak azért van szaggatottal jelölve, hogy a kép 3D-s kocka alakja kézzelfoghatóbb legyen.
Vessük össze ezt a képet apránként az előzővel, a dimenziós analógia segítségével.
Először is azt látjuk, hogy két kockát tartalmaz: egy kék belső kockát és egy fekete külső kockát. A belső kocka az előző képen lévő belső négyzet megfelelője. Ez a hiperkocka távolabbi cellája; éppúgy, ahogy a belső négyzet a kocka távolabbi oldalát jelölte. A külső kocka ugyanígy az előző kép külső négyzetének felel meg. Ez a hiperkocka közelebbi cellája. E két kocka valójában azonos méretű; a kék kocka csupán azért tűnik kisebbnek, mert messzebb van a 4. dimenzióban.
Látunk még 6 darab csonka gúla alakú térfogatrészt, amelyek a külső kockát kötik össze a belső kockával: egyik a belső kocka tetején, egy másik alatta, négy pedig a négy oldala körül. Ezek a csonka gúlák az előző képen látott trapézok megfelelői. A dimenziós analógia révén rájöhetünk, hogy valójában nem csonka gúlák, hanem a belső és a külső kockával azonos méretű, szintén tökéletes kockák. Csak azért tűnnek csonka gúlának, mert szögből látjuk őket.
Végül: mind a 8 kocka – a belső, a külső, az alsó, a felső, a bal felőli, a jobb felőli, az elülső és a hátsó – csupán a hiperkocka külsején található. Ezek felelnek meg a kocka oldalainak. Ezt elsőre nem könnyű megérteni. A mi 3D-s szempontunkból ezek a kockák már eleve teljes mértékben kitöltik a képen látható, kocka alakú teret: hogy lehet akkor, hogy ezek csupán a hiperkocka külsején vannak?
Hogy jobban megértsük ezt a zavarba ejtő kérdést, nézzük meg alaposabban e képeknek egy másik vonatkozását.
Hol van a belül?
Nézzük meg újra a 3D-s kocka vetületét. 3D-s lényként tudjuk, hogy a kocka belseje a kocka 6 oldala közötti térfogatrészben van. De ha egy 2D-s lény nézné a kockának ezt a vetületét, ez a „belül” igen homályos lenne. Ha annyit mondanánk, hogy a kocka belseje a belső és a külső négyzet között van, a 2D-s lény hibásan úgy vélhetné, hogy a 4 trapéz által lefedett területre gondolunk. Azonban, mint tudjuk, nem erről van szó: a 4 trapéz szintén csak a kockán belüli térfogatrész határát alkotja. 2D-s szempontból ez aligha érthető meg. A 6 oldal már eleve kitölti a képen látható, négyzet alakú terület teljes egészét: hol lenne hát hely a kocka belsejének?
A válasz nyilván abban rejlik, hogy itt a 3D-s mélységről van szó. A belső négyzet mélyebben van a 3. dimenzióban, mint a külső négyzet, úgyhogy jókora hely van közöttük a kocka belsejének. A benne foglalt tér valójában a két szemközti oldal közt lehetséges összes négyzet összege, amint az alábbi animáción látható:
A lila négyzet előre-hátra mozog a kocka bal és jobb oldala között. Látható, hogy járja végig a kockában bennfoglalt térfogatot?
Nézzük most a 4D esetét.
Hol van a hiperkocka belseje? A dimenziós analógia azt sugallja, hogy mind a 8 kocka „között” kell lennie, amelyek a hiperkocka felületét képezik. Ha azonban 3D-s nézőpontunkból nézzük a fenti képet, sehol se látunk olyan helyet, ahova ez a „belül” beleférne. A 8 kocka a kép teljes kockányi térfogatát kitölti; hol másutt lenne hely a hiperkocka belsejének?
A dimenziós analógia révén világos választ kell kapnunk erre: itt a 4D-s mélységről van szó. A belső kocka mélyebben van a 4. irányban, mint a külső kocka, így hát bőséges hely jut közöttük a hiperkocka belsejének. A benne foglalt tér valójában a két szemközti kocka közt lehetséges összes kocka összege, amint az alábbi animáción látható:
A lila csonka gúla valójában kocka, amely előre-hátra mozog a hiperkocka bal és jobb szélső cellája között. A hiperkockában foglalt 4 dimenziós hipertérfogatot járja végig. Figyeljük meg, hogy látszólag átfordul, amint a hiperkocka közepén áthalad. Amint korábban kifejtettük, ez csupán az animációhoz használt perspektivikus vetület következménye: a kocka valójában nem fordul át. Azt viszont csakugyan elmondhatjuk, hogy a 3D-s térfogatok a 4D-ben „laposak”, a 3D-s kocka tehát a síknak megfelelően viselkedik.
Próbáljuk meg figyelmesen összevetni ezt az animációt az előbbivel, és nézzük meg, látjuk-e a kettő közt az analógiát. Fontos megértenünk, hogy a lila kocka mindegyik különböző látszólagos alakja a hiperkocka egy-egy különböző szeletét jelöli. A lila kocka által az egyes fázisokban elfoglalt területek nem fedik egymást! Nekünk mint 3D-s lényeknek, akiknek nem sok fogalmunk van a 4D-ről, némi időbe telhet, míg mindez „bekattan”. De érdemes rászánni a fáradságot, hogy megértsük. Sokat segíthet a 4D elgondolásában.
Cellák, ormok és élek
Mindebből arra jutunk, hogy 4D-ben a tárgyaknak jóval gazdagabb szerkezete van, mint 3D-ben. Egy 3D-s poliédernek, például a kockának, vannak csúcsai, élei és oldalai, és egy 3D-s térfogatrészt töltenek ki. A kockát oldalak veszik körül, melyek 2D-sek. A szomszédos oldalak élek mentén találkoznak, melyek 1D-sek, az élek pedig csúcsokban futnak össze, amelyek 0D-sek.
4D-ben a tárgyaknak, például a hiperkockának, nemcsak csúcsai, élei és oldalai vannak, hanem cellái is. Egy 2D-s felület nem elég ahhoz, hogy egy 4D-s tárgyat körbevegyen. A 4D-s tárgyakat ehelyett 3D-s cellák veszik körül. A szomszédos cellák nem élek mentén találkoznak, hanem 2D-s oldalak, ún. ormok mentén. Maguk az ormok élek mentén érnek össze, az élek pedig csúcsokban találkoznak.
Azon van a hangsúly, hogy 4D-ben a 3D-s térfogatrészeknek a 3D-beli felületek felelnek meg, a 2D-s ormoknak pedig az élek. A 4D-s tárgyakat ezért fontos határoló térfogatrészek segítségével elképzelnünk, nem pedig 2D-s felületekkel. Egy 2D-s felület 4D-ben csak egy vékony zsinórnak megfelelő területet fed le! Ha egy 4D-s kép vetületében 2D-s felületet látunk, tisztában kell lennünk vele, hogy az csupán orom, nem pedig határoló felület.
