Átláthatóbb 4D-s vetületek
A rejtett felületek eltávolítása
Nézzük meg egy 3D-s kocka két 2D-s vetületét:
Melyiknél jövünk rá könnyebben a fenti képek közül, hogy egy kocka vetületét ábrázolja? Valószínűleg a jobb oldalinál. Miért? Azért, mert bár pontosabb a bal oldali kép (a kocka hátulján lévő éleket is mutatja, amelyek a jobb oldali képen nem szerepelnek), túl sok részlet van rajta, és ez elvonja a figyelmet. Három éle a kocka hátsó oldalán lévő éleknek felel meg, s ezeket jobb, ha elhagyjuk a képről.
Ez az eset még nem okozott túl nagy zavart, mert csak kevés élről van szó. De hasonlítsuk össze az alábbi képeket:
E képek közül melyiken látjuk jobban a dodekaéder alakját? Nyilván a jobb oldalin, mert bár a bal oldali a dodekaédernek mind a 12 oldalát mutatja, ezért pontosabb is, a hátul lévő oldalak azonban keverednek az elülsőkkel, összegabalyodnak a vonalak, s így az egész kép összezavarodik. A jobb oldalinál azonban nem tapasztaljuk ezt a problémát, mert eltávolítottuk róla a rejtett felületeket.
Ezekből a példákból világossá válik, miért fontos a vetületeknél a rejtett felületek eltávolítása. Bár gyakran úgy véljük, jobb, ha több információ áll a rendelkezésünkre, az egyértelműség néha ennél is fontosabb.
A rejtett felületek eltávolítása révén azt is könnyebben megállapíthatjuk, mi van elöl, és mi van hátul. Nézzük meg például a 3D-s kocka alábbi ferdeszögű vetületét, melyet az átugró kocka illúziójának is neveznek:
Nem könnyű megmondani, hogy a bal alsó vagy a jobb fölső oldal a kocka szemközti oldala, mert nem derül ki a képről, mi van elöl, és mi van hátul. Ha azonban a rejtett felületek eltávolításához folyamodnánk, minden kétséget kizárhatnánk:
A rejtett felületek közvetett jelölése
Van egy középút is aközött, hogy minden élt meghagyjunk a képen, a látvány összezavarodását kockáztatva, vagy minden rejtett élt eltávolítsunk, némi információt veszítve az eredeti tárgyról. Ahelyett, hogy a takarásban lévő éleket teljesen eltávolítanánk, bizonyos vizuális eszközökkel, például szaggatott vonallal, jelölhetjük, hogy fedésben vannak.
A dodekaéder alábbi képén például szaggatott vonallal jelöljük a rejtett éleket:
Most már a dodekaéder összes élét látjuk, és nem okoz többé gondot, hogy melyek vannak elöl, és melyek hátul.
A 4D-s vetület átláthatóbbá tétele
Ha egy 4D-s tárgyat kivetítünk, valójában két vetítést végzünk:
- 4D-ből 3D-be vetítünk, hogy létrehozzuk azt a 3D-s képet, amit egy 4D-s lény látna;
- 3D-ből 2D-be vetítünk, hogy ezt a számítógép képernyőjén megjeleníthessük.
A 4D-s tárgyak vetületei általában igen összetettek. Ha csak ebben a formában alkalmazzuk a fenti lépéseket, gyakran egy nagy, kusza vonaltömeget kapunk, ami csak összezavarja a szemlélőt. Bizonyos speciális eszközöket kell alkalmaznunk a képeken, például a rejtett felületek eltávolítását (RFE-t), hogy a képek értelmet nyerjenek számunkra.
Azonban, amint az előző fejezetben láttuk, a 3D-s képnek az első lépésnél létrejövő belső szerkezete is nagyon fontos, így nem alkalmazhatjuk vakon mindkét lépésnél az RFE-t. Ha pedig a második lépésre alkalmazzuk az RFE-t, a 3D-s képből csak a vetületburok fele marad meg. Az eredményből pedig semmire se jutnánk.
Ehelyett az első lépésre alkalmazzuk az RFE-t, hogy a létrejövő 3D-s kép ne legyen olyan zsúfolt, majd a második lépésnél alkalmazzuk a rejtett felületek közvetett jelölését, hogy a 3D-s kép belső szerkezete is megmaradjon, így a létrejövő 2D-s képen könnyebben felismerhetjük a 3D-s alakzatot.
Próbáljuk ki ezeket a módszereket egy példán. Figyeljük meg a 4D-s hiperkocka alábbi vetületét RFE nélkül:
Elég bonyolult, nem? Most alkalmazzuk az RFE-t: távolítsuk el azokat az éleket, amelyek a 4D-s nézőpontból nem látszanak:
Valamivel jobb, de továbbra sem könnyű felismerni ennek a vetületnek a 3D-s alakját, mivel a 3D-s alakzatot 2D-be vetítjük. Ennek érdekében kékre színezzük azokat az éleket, amelyek a 3D-s burok belsejében vannak, hogy meg tudjuk különböztetni, mely élek alkotják a burkot, és melyek vannak belül:
Végül pedig szaggatott vonallal jelöljük azokat az éleket, amelyek 3D-s nézőpontunkból nem látszanak. (Figyelem: ne tévesszük ezt össze azzal, ha valami a 4D-s nézőpontból nem látszik: ezek az élek mind egyidejűleg láthatók a 4D-s nézőpontból!)
Most már jóval könnyebb megérteni a képet. Láthatjuk, hogy rombikus dodekaéder alakú burka van, amelynek három belső éle (a kékkel jelölt élek) egy csúcsban futnak össze a burok belsejében. Hasonlít a hiperkockának arra a rombikus dodekaéder alakú vetületére, amit az előző fejezetben láttunk.
