A vetületek (1)
Vetítéssel egy N dimenziós tárgyat (N−1) dimenzió felhasználásával ábrázolhatunk. Többféle vetítés létezik, de mind ugyanazon az elven alapul: képzeletbeli sugarakat, ún. vetítősugarakat bocsátunk a tárgy felől egy (N−1) dimenziós vetítőernyő felé. Ezeknek a sugaraknak a vetítőernyővel való metszete hozza létre a tárgy képét. Olyan ez, mint a fényképezés: a tárgyból eredő fény vonalak (sugarak) mentén halad, rávetül a filmre (a vetítőernyőre), s ebből jön létre a tárgy képe.
A vetületek révén könnyebben tudjuk felfedezni a magasabb dimenziókat, mivel ezek integrált képet adnak a tárgyról, nem csupán elszigetelt információdarabkákat, mint a metszetek. Valójában a szemünk is így működik: a retinába egy rajtunk kívül lévő 3D-s tárgy vetülete érkezik, amiből 2D-s kép jön létre, s mi ebből alkotjuk meg agyunkban a látottak 3D-s modelljét. Az ily módon beérkezett kép értékes információkat hordoz a 3D-s tárgyról: jellemzői, mint pl. csúcsai, élei, lapjainak alakja és száma, integrált egészként jelennek meg. Figyeljük meg az alábbi képet:
Nyomban látjuk, hol vannak a kocka csúcsai, és azt is látjuk, hogy négyszögletesek az oldalai. Jóval hamarabb világossá válik, hogy ez egy kocka képe, mint az előző fejezetben látott keresztmetszet-sorozatból. Bár a metszetes módszer is értékes információt nyújt, a vetítéses módszert könnyebb megérteni.
A vetítés típusai
A vetítésnek két fő fajtája van: a párhuzamos vetítés és a perspektivikus vetítés. A párhuzamos vetítésnél a vetítősugarak párhuzamosak egymással. A perspektivikus vetítésnél a sugarak a vetítőernyő mögötti egyetlen pontba tartanak. Mindkétfajta vetítés hasznos lehet a magasabb dimenziójú tárgyak vizsgálatánál.
A párhuzamos vetítés
A párhuzamos vetítést tovább bonthatjuk merőleges vetítésre, ahol a sugarak mindig merőlegesek a vetítőernyőre, és ferdeszögű vetítésre, ahol a sugarak valamely szögben metszik a vetítőernyőt.
Ez például egy 3D-s kocka, melyet egyik oldala felől, merőleges vetítéssel 2D-be vetítettünk:
Ez pedig ugyanaz a kocka, ferdeszögű vetítéssel vetítve:
Összehasonlításképpen, ez a 4D-s hiperkocka merőleges vetülete:
Ez pedig a 4D-s hiperkocka ferdeszögű vetülete:
A hiperkocka két celláját megjelöltük, hogy jobban látszódjanak. Figyeljük meg a hasonlóságot az utóbbi két kép és a 3D-s kocka képei között. A kocka merőleges vetítésű képe egy 2D-s négyzet (mert szemből nézzük). A hiperkocka merőleges vetítésű képe ugyanígy egy 3D-s kocka. A kocka ferdeszögű vetítésű képe olyan, mint két négyzet, amelyeket 4 vonal köt össze. A hiperkocka ferdeszögű vetítése ugyanígy olyan, mint két kocka, amelyeket 8 vonal köt össze. Itt is a dimenziós analógia működését figyelhetjük meg.
A párhuzamos vetítéssel alkotott képek néhány tulajdonsága:
A kép mérete nem függ a tárgy távolságától. Bármilyen messze is van a tárgy, a párhuzamos sugarak mindig ugyanazt a képméretet adják.
A tárgy párhuzamos vonalai a képen is párhuzamosak maradnak. A kocka ferdeszögű vetítésénél például a kocka függőleges élei a képen is mind függőlegesnek látszanak. Az első és hátsó oldalt összekötő élek döntve jelennek meg, de továbbra is párhuzamosak egymással, csakúgy, mint a valódi kockánál.
