A metszetek
A metszetek használata
A mi világunk a 3D-re korlátozódik, így nem tudjuk közvetlenül felfedezni a magasabb dimenziójú tárgyakat. Közvetett módszerekkel azonban tanulmányozhatjuk és meg is érthetjük őket. Az egyik ilyen lehetőség az, ha elmetszünk egy magasabb dimenzióbeli tárgyat a világunkkal, és megnézzük, hogy festenek az egyes különféle keresztmetszetei.
Ennek megvilágítására használjuk újból a dimenziós analógiát. Tegyül fel, hogy csupán 2D-s lények vagyunk, melyek egy 2D-s világban élnek, és képtelenek vagyunk belelátni a 3. dimenzióba. Tegyük fel, hogy azt próbáljuk megérteni, mi az a henger. Tudjuk, mik azok a körök és négyzetek, hiszen ezek a tárgyak a mi 2D-s világunkban is léteznek, és minden további nélkül láthatjuk őket, és tudunk velük bánni. Azonban halvány fogalmunk sincs arról, milyen lehet egy henger. Közvetlenül semmiképp nem láthatunk ilyen tárgyat, mert 1D-s a retinánk, és csak egy 2D-s retinával tudnánk egy 3D-s tárgyat megfelelően érzékelni. Annyit tehetünk csupán, hogy megfigyeljük, mi történik, ha egy henger áthalad a 2D-s világunkon:
Miközben ez történik, síkbeli világunkban a henger metszeteit figyelhetjük meg. Ha például a henger függőlegesen halad át a világunkon, körkörös metszetek sorozatát látjuk, amelyek mind azonos méretűek.
Ezekből a metszetekből arra gondolhatunk, hogy a henger bizonyára valami kör alakú jelenség.
A henger azonban más helyzetben is áthaladhat a világunkon:
A henger ezúttal gömbölyű oldalával lefelé halad át. Most négyszögletes metszetek sorozatát látjuk, amelyek szélessége látszólag megnő, majd összemegy, de hosszúságuk változatlan marad. Ebből arra következtetünk, hogy a hengerben kell lennie valami négyszögletesnek.
Eddig annyit tudunk, hogy a 3D-s henger egy olyasvalami, ami egyaránt körkörös és négyszögletes. Ez kétségkívül igaz. A metszetek vizsgálatából értékes információt kaptunk a henger alakjáról.
Egy alapvető hiányosság
Ha továbbra is feltételezzük, hogy csupán 2D-s lények vagyunk, aligha tudunk olyan alakot elgondolni, ami egyszerre lehet körkörös és négyszögletes, amint azt az imént megtudtuk. (A 2D-s lények csak 2D-s alakokat tudnak elképzelni.) Kutatásainkat folytathatjuk úgy, hogy megfigyeljük, ahogy a henger 45 fokos szögben halad át 2D-s világunkon:
A metszetek ezúttal elég zavarba ejtőek:
Nem szabályos körökből vagy téglalapokból állnak, hanem különböző mértékben csonkított ellipszisekből. Ha előzőleg nem tudtuk, milyen alakú a henger, ezekből a metszetekből valószínűleg nem tudnánk kikövetkeztetni. Talán arra gondolnánk, hogy ezek a metszetek nem is ugyanannak a tárgynak a metszetei.
Mindez a metszetes módszer egy alapvető hiányosságára világít rá: bár valóban hasznos információkkal szolgál, nehéz ezekből az információkból koherens modellt alkotni arról, hogyan is néz ki ez a tárgy. Ha például csak a henger metszeteinek az iménti sorozatát ismernénk, aligha tudnánk rájönni belőle, hogy egy hengernek két körkörös lapja és egy gömbölyű oldala van.
A metszetek alábbi sorozata még világosabbá teszi ezt a hiányosságot:
Ki tudjuk találni, milyen 3D-s tárgy hozná létre ezeket a metszeteket? Valószínűleg nem, hacsak nem tudtuk már korábban.
Nem másnak, mint egy 3D-s kockának a metszetei ezek, melyek úgy jönnek létre, ha a kocka a csúcsa felől halad át a 2D-s világon. Erre igen nehéz rájönni pusztán a metszetek vizsgálatából: nem könnyen tudnánk meg például a csúcsok számát, valamint az oldalak számát és alakját. A legtöbben valószínűleg nem is tudják, hogy egy kockának hatszögletű síkmetszetei is lehetnek!
3D-s lényként legalább a 3D-s geometriáról van annyi ismeretünk, aminek alapján el tudjuk képzelni a metszetek egymásra halmozását, s ezekből talán egy kockára emlékeztető alakot is. De figyeljük meg az alábbi sorozatot, amely egy 4D-s tárgynak a 3D-s térrel való metszeteit ábrázolja:
Rá tudunk jönni, mi a 4D-s tárgy? Bizonyára nem, hacsak nem ismertük korábban, mivel aligha tudnánk megérteni, hogyan illenek össze ezek a metszetek. A 4D intuitív fogalma nélkül aligha tudjuk belőlük az eredeti tárgyat rekonstruálni.
Az az alapvető gond a metszetekkel, hogy részenként vizsgáljuk a tárgyat. A lényeges jellemzőire, mint például a lapok számára és alakjára, a csúcsok számára és a tárgy voltaképpeni alakjára, csak következtetni lehet, nem nyilvánvalóak. Jobban tesszük, ha a vetítéshez folyamodunk.
