A dimenziós analógia
A 4D vagy általában a magasabb számú dimenziók felfedezésének igen hasznos eszköze a dimenziós analógia. Dimenziós analógiának azt az eljárást hívják, amikor megvizsgáljuk, hogyan viszonyul egy, a miénknél alacsonyabb dimenzióban lévő geometriai jelenség a mi dimenziónkban lévő, neki megfelelő geometriai jelenséghez, majd ugyanezt az elvet alkalmazva viszonyítjuk a mi dimenziónkat egy magasabb számú dimenzióhoz.
Nézzük meg néhány példával, mit is jelent ez.
A tárgyak határai
Kezdjük a legegyszerűbb alapoknál: az 1D-s világban. Az 1D-s világ olyan, mint egy zsinór. Csak egy tengely mentén mozoghatunk: az X tengely mentén. Minden tárgynak csak egyetlen dimenziója lehet: hosszúsága, mivel nincs több dimenzió, ahol a szélességnek vagy magasságnak helye lenne. 1D-ben csupán kétféle tárgy fordulhat elő: a pont, ami 0D-s, és a vonal, ami 1D-s.
Ahhoz, hogy egy szakaszt (vonaldarabot) kielégítően meghatározzunk, elegendő megadni a kiindulópontját és a végpontját. Más szóval, egy 1D-s tárgynak a határai pontokból állnak, amelyek 0D-sek.
Lépjünk most át a következő dimenzióba: a 2D-be. A 2D-s világ sík, mint egy papír felülete. Ez a világ sokkal érdekesebb, mint az 1D-s világ, mivel sokkal többféle tárgy lehetséges benne. A pontok és vonalak mellett előfordulhatnak például sokszögek és körök is:
Mi határolja a sokszöget? Szakaszok határolják, melyek 1D-sek. A körnek is 1D-s határvonala van, noha görbe. A 2D-s tárgyakat tehát 1D-s vonalak és görbék határolják.
Figyeljük most meg a 3D-s világot. A 3D-s világban lévő tárgyakat nem vonalak vagy görbék, hanem 2D-s felületek határolják. A kockát például 6 négyzet határolja, a golyót pedig gömbfelület. A gömbfelület is 2D-s, mivel bármely pontját kielégítően meg lehet határozni csupán két paraméterrel: a hosszúsággal és a szélességgel.
Egy minta rajzolódik ki előttünk. Az 1D-s tárgyakat 0D-s pontok határolják; a 2D-s tárgyakat 1D-s vonalak (vagy görbék) határolják; a 3D-s tárgyakat pedig 2D-s felületek. Más szóval, az 1D-ben lévő pontok analógok a 2D-ben lévő vonalakkal és görbékkel: ezek alkotják a saját dimenziójukban létező tárgyak határát. A 2D-ben lévő vonalak és görbék ugyanígy analógok a 3D-beli felületekkel. A dimenziós analógia alapján azt látjuk, hogy N dimenzióban a tárgyakat (N−1) dimenziós határok veszik körül.
Ebből arra következtethetünk, hogy 4D-ban a tárgyakat nem pontok, vonalak vagy akár felületek határolják, hanem térfogatok. A dimenziós analógia nélkül ezt aligha ismerhetnénk fel. Amint azt később látni fogjuk, egy 4D-s kockát például 8 kocka határol. Ezeket a határoló térfogatokat hívjuk a 4D-s kocka celláinak.
A látás
A dimenziós analógia egy másik alkalmazását már említettük: egy N dimenziós lény szemében lévő retina dimenzióját. Mi 3D-s lények vagyunk, szemünk viszont csak 2D-ben lát, mert retinánkat fényérzékeny sejtek 2D-s együttese alkotja.
Miért csak 2D-s a retinánk? Bizonyára sokkal jobb lenne, ha 3D-s lenne a retinánk, hogy 3D-s világunk minden részét egyszerre láthassuk, nem?
Ez azért van így, mert ahhoz, hogy bármit is lássunk, a fénynek akadálytalanul el kell jutnia a látott tárgyról a retinánk sejtjeihez. A 2D-s retina azért működhet, mert létezik egy 3. dimenzió, amelyben a fény akadálytalanul eljuthat a tárgyról a retinára. Ha azonban a retinánk 3D-s lenne, semmivel se látnánk többet, mivel a fénynek át kell haladnia a külső felület sejtjein ahhoz, hogy a beljebb lévő sejteket elérje, ami annyit tesz, hogy beljebb lévő sejtek semmi mást nem látnának, csak amit már a kijjebb lévő sejtek is láttak. Mivel 3D-re vagyunk korlátozva, nem áll rendelkezésre egyéb dimenzió, amelyben a fény eljuthatna ezekhez a belsőbb sejtekhez valami saját, különálló útvonalon, amiből további látási információt nyerhetnénk.
Ebből a dimenziós analógia alapján arra következtethetünk, hogy egy 2D-s lénynek csak 1D-s retinája lehet. Amint a fenti ábra mutatja, ha egy lény 2D-ra van korlátozva, a fénynek nem áll rendelkezésére olyan akadálytalan útvonal, amelyen egy 2D-s tárgyról egy 2D-s retina belső sejtjéhez eljuthat. Mindaz a fény, ami egy belső sejtet elér, már egy külső sejten is áthaladt, így ez a lény semmivel se látna többet 2D-s retinával.
A dimenziós analógia révén arra is következtetni tudunk, hogy 4D-ben már elképzelhető a 3D-s retina, mivel itt már a fénynek rendelkezésére áll egy külön dimenzió, amelyben akadálytalanul eljuthat a látott tárgyról a retina bármely pontjára.
A következők tárgyalásában a dimenziós analógiának sok hasznát fogjuk venni a 4D megértéséhez.
